Zitat:
Zitat von pansono
Also nachdem hier ja dauernd umgedreht wird dachte ich mir es könnte Sinn machen die Zahl per Formel in ihre Ziffern zu zerlegen:
p*100+q*10+r (also hier 9*100+8*10+7 = 987)
umgedreht dann :
100r+10q+p[/COLOR]
Dann die kleinere von der grösseren Zahl abziehen: 987-789=198
So das wäre dann:
100p+10q+r - 100r-10q-p = 99p-99r
Das Ergebnis wieder umkehren und dazu rechnen: 198 + 891
So jetzt müßte man wieder die 99p-99r in eine Form mit 100x+10y+z überführen, daß ganze wieder wie oben schon bei der Subtraktion addieren und dann nachweisen, daß dabei immer 1089 rauskommt. Das mach ich wenn dann aber morgen. Dafür reicht mein Kopf heute nicht mehr
Als Ergebnis kommt immer 1089 heraus.
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Also so halbfertig kannst Du das jetzt aber nicht stehen lassen.
Ich hoffe, Du bist mir nicht böse, wenn ich mal weitermache. Justus hat mich ja sowieso aufgefordert und muß den Beweis dann durcharbeiten.
Für "Elektroniker" sowieso kein Problem.
Also: Die Zahl lautet 100p+10q+r mit p<>q, p<>r und q<>r und p,q,r aus {0..9}. OBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) sei p>r. p,q,r sind also die Ziffern der dreistelligen Zahl.
Die Gegenzahl lautet also: 100r+10q+p und ist wegen p>r kleiner als die Originalzahl.
d:=Größere-kleinere Zahl= 100(p-r)+10*(q-q)+(r-p)=100(p-r)+(r-p)
p-r ist größer 0 und kleiner gleich 9 also aus {1..9}, sprich einstellig und positiv. r-p somit aus {-9..-1}
Wir müssen die Differenz d nun in der Zifferndarstellung 100x+10y+z schreiben mit x,y,z aus {0..9} also einstelligen positiven Zahlen.
x=p-r würde passen, da p-r aus {1..9.}, y=0 ebenfalls, aber z=r-p passt nicht, da r-p negativ ist.
Deshalb erhöhen wir die Einerstelle um 10: z:=r-p+10, somit ist z aus {1..9}, passt also
Zum Ausgleich müßten wird die Zehnerstelle um 10 verringern, da diese aber 0 ist, erhöhen wir die Zehnerstelle stattdessen um 9 (y:=9) und verringern die Hunderterstelle um 1 (x:=p-r-1, d.h. x aus {0..8}).
Also lautet die Differenz d in der Zifferndarstellung 100*(p-r-1)+10*9+1*(r-p+10)
Die "Gegenzahl" dazu lautet also 100(r-p+10)+90+(p-r-1)
und die Summe s
s=100*(p-r-1+r-p+10)+180+1*(r-p+10+p-r-1)=100*9+180+9=1089 q.e.d. (was zu beweisen war!)
Viel Spaß beim nachrechnen!
Rainer
P.S. die zweite Ziffer spielt keine Rolle, darf also durchaus mit der ersten oder dritten Ziffer übereinstimmen. 223 oder 334 funktionieren also sehr wohl. Nur die 100-er Stelle und die 1-er Stelle müssen sich unterscheiden, da sonst die erste Gegenzahl der ursprünglichen Zahl entspricht, die Differenz also 0 ist, deren Gegenzahl ebenfalls 0 und damit die Summe beider.