[Man]

Adaption von DSLR (oder DSLT) Objektiven an einer DSLM ist immer eine Notlösung.
Das hat nichts mit Sony/Canon/Nikon zu tun, sondern damit, dass diese Objektive "nur" für Phasendetektions-AF konsturiert wurden = das Objektiv soll schnell und zuverlässig genau auf den von der Kamera ermittelten Wert einstellen.
DSLMs arbeiten mit Contrast-AF = hierfür konstruierte Objektive sollen sehr schnell und sehr genau hintereinander veschiedene Entfernungseinstellungen anfahren können - die Kamera wählt die Einstellunge, an der das Motiv am schärfsten erscheint (den höchsten Kontrast hat) und das Objektiv soll dann auf diesen Punkt einstellen. Dafür werden meist Schrittmotoren benutzt. Das kann ein DSLR-Objektiv nicht bieten (egal ob es einen Ultraschallmotor hat oder noch mit Stangenantrieb ausgerüstet ist) und geht bei dieser Messmethode etwas "grobmotorisch'" (zuckelt in eigentlich zu großen Schritten immer hin und her) vor.
Die aktuellen DSLMs von Sony (müsste auch die 6000er schon haben) arbeiten zusätzlich mit einem senosorbasierten Phasendetektions-AF. Über den Phasendetektions-AF erfolgt bei diesen DSLMs die Grobeinstellung, die Feineinstellung im Anschluss daran mit Contrast-AF.

Canon-Objektive sind schon seit den Anfangstagen des EOS-Systems (SLR/DSLR) mit elektroischer Blende und in den Objektiven integrierten Motoren ausgerüstet. A-Mount hat immer eine mechanische Blende (wird mechanisch von der Kamera auf das Objektiv übertragen - bei Canon geht das über Datenleitung) und teilweise noch Stangenantrieb (z. B. das 17-50 Tamron).

Mit dem LA-EA4 kann man A-Mountobjektive mit Stangenantrieb an jeder beliebigen E-Mountkamera betreiben - auch an der A6000.
Allerdings mit 2 Besonderheiten:
1) Der LA-EA4 hat ein eigenes (externes) AF-Modul. Er funktioniert so wie eine (A-Mount)DSLT. Der AF der angeschlossenen E-Mountkamera wird nicht benutzt - damit verzichtet man auf den sehr akkuraten Contrast-AF der E-Mountkamera und bleibt (unabhängig von dem Niveau der angeschlossenen E-Mountkamera) ca. auf dem AF-Stand von 2010 (angeblich stammt das AF-Modul aus der A65 - das war eine auch im AF abgespeckte Version der A77).
Auf Dauer wird man damit auch für Schnappschüsse von Kindern (gerade da soll der AF ja schnell und präzise sein) nicht glücklich werden.
2) für den AF ist ein teildurchlässiger Spiegel (Spiegelfolie) verbaut. Diese schluckt rd. 25% Licht = die HighISO-Eigenschaften der A6000 werden schlechter, da die Kamera höhere ISO verwenden muss.

Also besser nativ (=E-Mountobjektive).

Lichtstarke Standardzooms für APS-C gibt es kaum (schmöker mal hier in der Objektiv-Datenbank) - eigentlich nur das (für APS sauteure) Sony 16-55 F/2,8.
Wenn überwiegend der Weitwinkelbereich genutzt werden soll (ist vermutlich bei Kindern überwiegend der Fall, da kommt man ja ziemlich nah dran), wäre das Tamron 17-28 F/2,8 (rd. 800 Euro) noch eine Option. Das ist eine VF-Obtik und die könnte man auch an einer VF-Kamera (A7, A9) weiter betreiben - wenn das mal irgendwann angedacht sein sollte.

Vielleicht kannst du dich ja auch mit Festbrennweiten anfreunden: das Sigmatrio 16/30/56 jew. F/1,4 DC DN Contemp. sind für APS-C eine sehr hochwertig und mit jew. um die 400 Euro noch bezahlbare Alternative.
Statt dem Sony 16-55 F/2,8 für rd. 1.300 Euro würde ich eher ein Sigma 16 mm F/1,4 für rd. 400 Euro ins Aug fassen. Das ist zwar kein Zoom, aber immerhin doppelt so lichtstark, wie das 16-55 F/2,8 und sogar etwa 3 mal so lichtstark wie dein Kitobjektiv, welches ich für Aufnahmen bei guten Lichtverhältnissen natürlich behalten würde.