Eine "Intensiv"-Datensicherung hat Du gemacht?

Ist es vielleicht auch von Bedeutung wie lange ein PC ausgeschaltet ist?

Nee, noch nicht.

Die Batterie kann das durchaus sein. Ich hatte schon Rechner die ab und an eine neue brauchten. Hatte auch Rechner die nie eine neue Batterie brauchten.

Nur, wenn auch die Steckdose ausgeschaltet ist. Das dauert aber schon etwas länger, bis dann irgendwann die Bios-Batterie leer ist.
Auch in komplett heruntergefahrenem Zustand zieht der PC nämlich immer minimal Strom, wofür dann die BIOS-Batterie zuständig ist, den Bedarf zu decken, wenn der PC sich nicht an der Steckdose mit Strom versorgen kann.
Zum Beispiel läuft die Uhr im PC weiter und auch die im BIOS eingestellten Werte würden „vergessen“ werden, wenn kein Strom anliegt.
Das Ausschalten der Steckdosenleiste kann also auf lange Sicht dafür sorgen, dass sich die BIOS-Batterie langsam leert.

Ich glaube nicht daran, dass es an der Batterie liegt. Denn nach mehreren Versuchen geht der Rechner ja an und läuft dann problemlos.
Probiere erstmal #4 aus und wenn das nichts fruchtet, würde ich auch auf den Netzschalter tippen.
Noch ein anderer Versuch: ziehe mal die über USB angeschlossenen Peripheriegeräte ab. Startet der Rechner dann problemlos?

Werde morgen berichten

Das glaube ich einfach nicht. Ich schalte den PC des öfterne ab, indem ich ihn stromlos mache und das Windows hat sich noch neimals nie gehimmelt ...

Das sollte nicht der Normalfall sein. Aber es kann schon mal passieren, dass sich ein Rechner so aufgehängt hat, dass man die Powertaste 10 Sekunden gedrückt halten oder den Schalter am Netzteil ausschalten muss.